تخمین پارامترهای هیدرولیکی سفره تحت فشار بوسیله تکنیک بهینه سازی ژنتیک الگوریتم

مقدمه :

آب زیرزمینی منبعی با ارزش جهت تامین آب برای مصارف شرب، کشاورزی و صنعتی است. با افزایش جمعیت و تقاضا ی روز افزون آب، مدیریت صحیح منابع آب یک نیاز فوری و حیاتی محسوب می شود. مدیریت صحیح منابع آب زیرزمینی معمولاً بر اساس داده های مدلهای مختلف اعمال می شود که صحت و دقت این مدلها نیاز به برآوردی دقیق از پارامترهای هیدرولیکی سفره دارد. روشهای متفاوتی برای تعیین پارامترهای هیدرولیکی سفره ها وجود دارد، این روشها اغلب نیاز به داده های خیلی خاص و یا خیلی دقیق دارند که همیشه دردسترس نیستند. بنابراین روشهای نسبتا ساده و در عین حال استاندارد، مانند آزمایشات پمپاژ معمولا برای تخمین پارامترهای سفره بسیار مفید و کارا هستند.

 داده های آزمایش پمپاژ زمان - افت بوسیله مدلهای تحلیلی غیر خطی مانند: مدل Theis و Neuman و ... بر اساس نوع سفره و با استفاده از روشهای گرافیکی که بصورت روش کلاسیک در نظر گرفته شده اند آنالیز می شوند]۱[. انطباق گرافیکی اغلب تقریبی بوده و انطباق کامل به دلیل اختلاف زیاد بین فرضیات در نظر گرفته شده در تئوری و شرایط واقعی میسر نیست. بعلاوه اینکه روشهای گرافیکی خیلی پر زحمت ، زمان بر و سلیقه ای هستند.

مسایل مدیریت آب زیرزمینی در طبیعت غیر خطی و non convex هستند]۲[. از طرفی GA یک روش متعارف و خوب برای  بهینه سازی معادلات شدیداً غیر خطی و پیچیده (دارای بی نهایت نقاط مینیمم و ماکزیمم ) می باشد]۳[.

در دو دهه اخیر محققین متعددی از GA برای حل مسائل مدیریتی منابع آب سطحی و زیرزمینی استفاده کرده اند که بیشتر این تحقیقات نیز در خصوص آبهای سطحی بوده است.

از محققینی که در زمینه کاربرد ژنتیک الگوریتم در آب زیرزمینی کار کرده اند می توان موارد زیر را ذکر کرد :

چندر و همکاران از الگوریتم Marquardt  برای تخمین پارامترهای سفره ، از اطلاعات آزمایش پمپاژ   زمان - افت سفره های تحت فشار غیر نشتی و نشتی استفاده کردند]۴[ . موهان یک روش استفاده از GA برای تخمین پارامترهای مدلهای دو بعدی و غیر خطیMuskingum  پیشنهاد داد]۵[ . پراساد و راستوگی از ترکیب GA با مدل اجزای محدود شبیه سازی جریان ، برای تخمین هدایت هیدرولیکی (K)، قابلیت انتقال (T) و تغذیه سفره استفاده کردند]۶[.چنگ و همکاران از GA برای بدست آوردن مقدار بهینه پمپاژ به شرط نفوذ نکردن آب شور به چاه پمپاژ در سفره های ساحلی استفاده کردند]۷[.

نگاهی به کارهای صورت گرفته در گذشته نشان می دهد که کارهای بسیار کمی در مورد تخمین پارامترهای سفره بوسیله تکنیک GA انجام شده و به این تکنیک توجه کمی شده است. برتری ویژه GA غیر حساس بودن به حدسهای اولیه پارامترها برای بهینه سازی است]۸[. لذا GA به درستی می تواند نقاط global و یا نزدیک اپتیمم را برای مسایل بهینه سازی غیر خطی به دست آورد. لذا در این مقاله کارایی GA به وسیله تخمین پارامترهای سه آبخوان تحت فشار از طریق داده های آزمایش پمپاژ زمان - افت محک زده شده است.

◊◊◊◊◊◊◊

بحث :

متغییرهای تئوریک بکار گرفته شده در GA از معادله  تیس (۱۹۳۵) گرفته شده است که بصورت زیر  بیان شده است]۹ [:

                                                                       (۲)

قسمت انتگرالی فرمول(۱) به عنوان تابع چاه یا W(u) شناخته می شود. با این حساب فرمول بالا را می توان بصورت زیر نوشت:

                                             (۳)

s مقدار افت اندازه گیری شده درپیزومتر در فاصله r و زمان t،  Qمقدار برداشت ثابت از چاه، T مقدار قابلیت انتقال سفره، W(u) تابع چاه، S ضریب ذخیره (بدون بعد)، t زمان سپری شده از شروع پمپاژ.

مقدار W(u) به ازای u های مختلف با استفاده از بسط سری تیلور (برای ۱۰) و کوادراتور گوس_لاگر (برای۱u>) محاسبه می شود.

- سری تیلور :

     (۴)

- کوادراتور گوس_لاگر :

                                       (۵)

یا

                                            (۶)

Y_i و a_i به ترتیب ریشه های چند جمله ای لاگر و ضرایب لاگر هستند]۱۰[ .

 الگوریتم ژنتیک ((GA :

GA با توجه به نظریه داروین در مورد تکامل ارایه شده است. نظریه محاسبات تکاملی توسط ریچنبرگ در سال ۱۹۶۰ معرفی شد و این نظریه توسط محققان دیگر توسعه یافت تا در سال ۱۹۷۵ منجر به اختراع الگوریتمهای ژنتیک توسط هالاند(Holland) و دانشجویانش گردید. روشهای بهینه سازی احتمالاتی مانند جستجوی تصادفی ساده، الگوریتم شبیه سازی آنیله و الگوریتم های تکاملی تقریبأ روی همه نوع فضا طراحی و بدون هیچ محدودیتی می تواند روی متغیرهای آن کار کند. روشهای   بهینه یابی احتمالاتی که برپایه قوانین تکامل بیولوژیکی استوار هستند بواسطه قابلیتهای فراوان با اقبال مجامع تحقیقاتی روبرو شده اند. دربین روشهای این گروه، GA بعنوان یک ابزار قدرتمند جستجو بیشتر از سایر روشها مورد توجه قرار گرفته است و کاربردهای متنوعی درزمینه های مختلف پیدا کرده است]۱۱[ .

نحوه عملکردGA:

الگوریتمهای ژنتیک با مجموعه های اولیه از راه حلهای تصادفی که جمعیت نامیده می شود کار خود را آغاز می کنند. هر فرد در این جمعیت، کروموزوم نامیده می شود که نماینده راه حلی برای مسأله مورد نظر است. معمولأ یک کروموزوم رشته ای از بیت های باینری (۰،۱) است. هر کد یا عدد در این رشته یک ژن نامیده می شود. برای ایجاد کروموزوم ها باید اعداد را بصورت باینری کد گذاری (Encoding) کنیم .

در هر نسل توسط پردازش جمعیت و بر اساس میزان برازندگی(Fitness) آنها، مجموعه ای از تخمین پارامترها در دامنه مسأله بدست می آید. این جمعیت به کمک عملگرهایی که شبیه سازی شده عملگرهای ژنتیکی هستند، طی نسل های متمادی تکامل می یابد. هدف از این کار ،دقیقأ همانند سازش پذیری طبیعی ژنتیکی، ایجاد جمعیت ها یا نسلهایی از جمعیت قبلی است که نسبت به آنها با محیط تطابق بهتری دارند.

برای این منظور در ابتدا یک مجموعه تصادفی از رشته ها (جمعیت اولیه) برای رسیدن به نقطه بهینه مقدار دهی می شوند و سپس مقدار تابع هدف که معیاری برای سنجش کارایی و تطبیق رشته است، محاسبه می شود. حال اگر معیار رسیدن به حالت بهینه بر آورده نشده باشد، تولید نسل جدید آغاز می شود. به این صورت که اعضای جمعیت بر طبق ارزش تطابق (Fitness) انتخاب شده و برای تولید نسل جدید(offspring) انتخاب می شوند]۱۲[.

در ادامه، روند ایجاد فرزندان در نسل های بعدی از سه قانون کلی تبعیت می کند:

الف) فرزندان نخبه(Elite children) : ژنهایی که دارای بهترین برازندگی باشند برای نسل بعد انتخاب می شوند.

 ب) فرزندان حاصل از ترکیب متقابل(Crossover children) : mating  یا crossover ایجاد یک یا چند کروموزوم از والدین دارای بهترین برازندگی است. شکل خیلی عمومی ترکیب، شامل دو والد است که ۲ فرزند را ایجاد می کنند. بدین گونه که یک نقطه بصورت تصادفی روی رشته کروموزومی انتخاب شده، بعد ناحیه های چپ یا راست آن نقطه، در رشته کروموزومی جابجا می شود]۱۳[. در زیر نمونه ای از ترکیب(crossover ) با یک نقطه انتخابی نمایش داده شده است :

ج) فرزندان حاصل از جهش ژنی(Mutation children) : جهش یا Mutation یکی از مهمترین فرایندهایی است که اجازه می دهد ژنهایی جدید در کروموزومها ایجاد شود، بدین صورت که فرزندان را به وسیله ایجاد تغییر در ژنها بصورت تصادفی ایجاد می کند.

از نسل دوم به بعد پس از ایجاد فرزندان با نسبت های تعریف شده و معین، با استفاده از الگوریتم های انتخاب(Selection) فرزندان نسل جدید گزینش و با قرار دادن این فرزندان در تابع هدف و امتیاز دهی به آنها الگوریتم تکرار شده تا وقتی که معیارهای پایان الگوریتم که می تواند تعداد نسل، زمان، عدم بهبود در میزان تابع هدف در چند نسل متوالی و ... باشد، باعث توقف الگوریتم شود. فلوچارت عملکردGA  را می توان مطابق شکل (۱) نشان داد.

فرمول بندی تابع هدف:

همانطور که در قسمت قبلی شرح داده شد تابع هدف، تابعی است که قصد کمینه کردن آن را داریم. اگر افت مشاهداتی را در پیزومتری به فاصله r از چاه پمپاژ و زمان t نسبت به شروع پمپاژ با s_o نشان دهیم و s_c افت محاسباتی با استفاده از مدل Theis در همان فاصله و زمان باشد، تابع خطا را         می توانیم بصورت زیر نمایش دهیم:

                                                                (۷)

حال برای افتهای مختلف در فاصله های زمانی مختلف می توان مجموع خطای مربعات را محاسبه کرد:

                                                  (۸)

که n تعداد افت های مشاهداتی است. حال می توان معادله (۸) را بعنوان تابع هدف کمینه کرد.

تخمین پارامترهای سفره تحت فشار با استفاده از GA :

در این تحقیق پارامترهای تخمینی هدایت هیدرولیکی (T) و ضریب ذخیره (S) برای سه سری داده های آزمایش پمپاژ (۱A ،۲A ،۳A ) از منابع ]۱۴، ۱۵، ۱[ محاسبه شده است. فلوچارت محاسبه تابع هدف در شکل (۲) نمایش داده شده است.

برای کم کردن زمان محاسبه می توان فضای جستجو را محدود کرد، یعنی می توان حدود استاندارد هر یک از پارامترها را بصورت قیود مسأله در نظر گرفت. اجرای موفق GA به گزینه های آن (مانند:Population size, Generations, Crossover, Mutation, Selection، نسبت بین تولید فرزندان و غیره) بستگی دارد. بهترین حالت برای هر یک از آنها را می توان توسط آزمون و خطا، با ثابت نگهداشتن گزینه های دیگر بدست آورد. بعنوان مثال برای بدست آوردن بهترین نسبت فرزندان حاصل از ترکیب به دیگر فرزندان (crossover fraction) می توان الگوریتم را برای نسبت های مختلف از ۰ تا ۱ اجرا کرد و با توجه به مقدار برازش ها بهترین نسبت را بدست آورد( شکل ۳ ).